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  • 椭 圆 的 几 何 性 质

    一.教学要求与要点

    1、使学生掌握椭圆的几何性质,会根据椭圆方程讨论椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、准线等性质,会应用椭圆的几何性质解决有关问题。

    2、对照右图,要求学生熟悉椭圆a、b、c、e、p各元素的之间的相互关系及其在图中所表示的部分,理解每一个量的含义。

    p=为焦点到相应准线的距离,

    (>2c)是椭圆第一定义,

    是椭圆第二定义,是由第二定义导出的椭圆焦半径公式。

    二.学法指导

    1.课本中利用椭圆方程推导出椭圆的性质,这种用代数方法研究几何问题的方法是解析几何的主要方法;

    2、由椭圆的几何性质求椭圆方程时,常常用待定系数法并通过解方程求出a和b;

    3、在解决椭圆上的点与焦点连线(焦半径)的问题时,能及时地返回定义(用定义解题),会收到事半功倍之效果。

    三.例题解析

    例1.已知椭圆的一个焦点将长轴分为:两段,求其离心率。

    解 由题意,(a+c):(a-c)=:,即,解得e=5-2

    例2.如图-2

     

    ,求椭圆,(a>b>0)内接正三角形的面积。

    解 由椭圆和正方形的中心对称性知,正方形BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且B点横纵坐标相等,故设B(t,t),代入椭圆方程求得t2=,即正方形ABCD面积为4

    例3.(1984年全国高考题)求出经过点M(1,2)且以y轴为准线、离心率为1/2的椭圆左顶点的轨迹方程。

    解由题意,椭圆在y轴右侧,且长轴与x轴平行。

    设其左顶点为P(x,y),由e=0.5知左焦点是F(,y),又因M到准线y轴的距离是1,

    所以由椭圆定义有,即(-1)2+(y-2)2=

    所求方程为 9(x-2+4(y-2)2=1。

    例4.求以定点A为焦点,定直线L为准线的椭圆短轴端点的轨迹。

    解 以A为原点,过A与L垂直的直线为y轴建立坐标系。

      解 设L:x=-d(d>0),P(x,y)为短轴端点,

      由椭圆定义

      化简得P:y2=dx(x)。

      例5.求证:以椭圆任意一条焦半径(焦点与曲线上任一点的连线段)为直径的圆必和与椭圆长轴为直径的圆相切。

    证明:设椭圆方程为,(a>b>0),

    焦半径PF2是圆O1的直径,

    则由a-知,两圆半径之差等于圆心距,

    所以两圆相切。

    例6.点A(4,0)、B(2,2)在椭圆9x2+25y2=9*25内,M是椭圆上的动点,求的最值。

    解易知A为椭圆焦点,则是一条焦半径,故考虑用椭圆定义。

    设另一个焦点为F(-4,0),则=2

    的最值为10

    练习题:

    1.两同心圆半径为R、r(R>r),AB是小圆上固定的直径,一个离心率为常数e的椭圆经过点A、B,且以大员的一条切线为准线,求此椭圆焦点F的轨迹。

      (答案:当Re>r时,F点轨迹是椭圆;当Re=r时,F点轨迹是线段AB,当Re

    2.已知椭圆的长轴是短轴的两倍,且过点(3,0),则其标准方程是______。

    3.已知直线n:y=x+3与双曲线4x2-y2=1,如果以双曲线的焦点为焦点作椭圆,使椭圆与n有公共点,求这些椭圆中长轴最短的椭圆方程。

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